原题：设 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个都落在区间 $(-1,1)$ 内的实数，证明

$$\prod_{1\leq i, j\leq n}^{1+a_1 a_j}\frac{1}{1-a_1 a_j}\geq 1$$ $\geq 1$ 。$$1 \leq i, j\leq n$$

解：对 $\prod_{1 \leq i, j \leq n}\frac{1+a_1 a_j}{1-a_1 a_j}\geq 1$，两边同取对数，原式等价于证明 $\ln$

$$\prod_{1\leq i, j\leq n}\left(1+a_1 a_1\right)-\ln\left[\prod_{1\leq i, j\leq n}\left(1-a_1 a_1\right)\right]\geq 0$$

又由于 $\ln\left[\prod_{i \leq i, j \leq n}\left(1+a_1 a_j\right)\right]=\ln\left[\prod_{j=1}^n\prod_{i=1}^n\left(1+a_1 a_j\right)\right]=\left[\ln\left(1+a_1 a_1\right)+\cdots+\ln\left(1+a_n a_n\right)\right]=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\ln\left(1+a_1 a_j\right)$ ,

$$\prod_{1 \leq i, j \leq n}\left(1-a_1 a_j\right)=\ln\left[\prod_{j=1}^n\prod_{i=1}^n\left(1-a_1 a_j\right)\right]=\left[\ln\left(1-a_1 a_1\right)+\cdots+\ln\left(1-a_n a_n\right)\right]=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\ln\left(1-a_1 a_j\right),$$

所以 $\prod_{1 \leq i, j \leq n}\frac{1+a_1 a_j}{1-a_1 a_j}=\ln\left[\prod_{1 \leq i, j \leq n}\left(1+a_1 a_j\right)\right]-\ln\left[\prod_{1 \leq i, j \leq n}\left(1-a_1 a_j\right)\right]=\ln\left[\prod_{1 \leq i, j \leq n}\left(1+a_1 a_j\right)\right]-\ln\left[\prod_{1 \leq i, j \leq n}\left(1-a_1 a_j\right)\right]=$

$\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\ln\left(1+a_1 a_j\right)-\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\ln\left(1-a_1 a_j\right)=\sum_{j=1}^n\sum_{i=1}^n\left[\ln\left(1+a_1 a_j\right)-\ln\left(1-a_1 a_j\right)\right]$ 又由于 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 是 $n$ 个都落在区间 $(-1,1)$ 内的实数，所以有 $-1 < a_i a_j < 1$ .此时可将 $\ln\left(1+a_i a_j\right)$ 和 $\ln\left(1-a_i a_j\right)$ 展开为

泰勒级数，又 $-1 < x < 1$ 时，$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1} x^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\cdots,\ln(1-x)=-\sum_{n